SVAR模型的起源、识别、估计与应用, 系统讲述
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作者：国家发改委市场与价格研究所 徐鹏
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结构向量自回归模型（Structural Vector Autoregression，SVAR）是多元时间序列分析的核心内容之一，它的建模依据主要来自经济理论，是宏观经济波动与情景预测分析的一个重要模型。自Sims（1980）开创SVAR模型以来，SVAR的理论与应用研究取得了巨大进展。目前，SVAR模型及其拓展模型已广泛应用于宏观经济学、货币金融学、能源经济学和农业经济学等学科领域。然而注意到，尽管目前SVAR模型常见于经典文献和教科书中，但有关SVAR模型的论述则缺少一个完整而系统的框架。为充分梳理SVAR模型的演进历程，补充完善SVAR模型的研究资料，本报告主要按照SVAR模型的建模步骤，分别从模型识别、估计、分析三个方面对SVAR模型的发展脉络进行全面综述，并指出该类模型在应用中应注意的事项，最后对SVAR模型的最新发展进行了简要介绍。
一、SVAR模型的起源
上世纪40~70年代，结构性建模方法，尤其是美国考里斯委员会（Cowles Commissions）主推的大型联立方程模型，是宏观计量经济分析的主流和标准。然而在上世纪70年代中后期，随着布雷顿森林体系的瓦解和中东两次石油危机的爆发，欧美等国家出现了经济停滞和失业率高企的“滞胀”现象，传统结构模型在经济预测、政策分析方面的表现越来越欠佳。特别在预期学派兴起之后，基于凯恩斯框架的传统结构模型受到了普遍质疑，“卢卡斯批判”可谓是其中最具挑战性的一个。在批判传统结构模型基础之上，Sims（1980）开创性地提出了向量自回归模型（Vector Autoregression，VAR）。相比传统结构性模型，VAR模型不仅无需区分变量的内生性和外生性，同时也充分考虑了宏观经济模型的预期因素，而且政策实验、经济解释和预测分析的准确性也显著增强。
更为重要是，Sims提出了一种有别于大型联立方程模型的识别方案，即对模型的扰动项进行结构识别，从而分解出经济含义较为明确的结构冲击（宏观经济学者习惯于将突发事件称作为冲击）。Sims的这种识别方案就是目前大家所熟知的乔利斯基分解法或递归识别法。然而由于乔利斯基分解法的限制作用较强，同时易受到变量排序影响，再加上变量之间的递归结构关系（Wold因果链）在现实中往往并不存在，使得广大学者对这种识别方案产生了质疑。为使VAR模型扰动项的经济含义更加明晰，脉冲响应、方差分解、情景预测等动态效应分析更加有效，Blanchard & Watson（1984）、Bernanke（1986）、Sims（1986）、Blanchard & Quah（1989）、Blanchard（1989）等一大批学者相继提出了有关VAR模型扰动项的结构识别方案。由于VAR模型的识别问题在宏观计量分析中占有重要地位，所以研究人员习惯于将带有结构识别的VAR模型统称为SVAR模型。
二、SVAR模型的识别
注：下方的“式”多指“上式”
Amisano & Giannini（1997）在总结前人SVAR模型文献基础之上，提出了SVAR模型的一个识别框架。根据SVAR模型扰动项（也称作结构冲击）与简约式VAR模型扰动项的结构假定关系，他们将SVAR模型的识别问题归纳为三类，即K模型、C模型和AB模型（注：这里的简约式VAR模型实际上指的是传统VAR模型，“简约”是相对SVAR“结构”而言的。关于SVAR模型的识别归类，Lütkepohl（2005）与Amisano & Giannini（1997）是一致的，只不过他将三类模型分别命名为A模型、B模型和AB模型）。在对这三类模型评述之前，首先简要回顾一下简约式VAR模型的表达形式。简约式VAR模型可以写为
其中，
其中，
表1 SVAR模型识别信息来源的相关文献
为保证脉冲响应分析、方差分解等动态效应具有唯一性，绝大部分分析中要求约束矩阵是恰好识别的，即同时满足阶条件（order condition）和秩条件（rank condition）。Amisano & Giannini（1997）给出了SVAR模型恰好识别的充分必要条件，Rubio-Ramírez et al.（2010）则给出了一个估计SVAR模型秩条件的通用方法。简单起见，我们假定SVAR模型中约束矩阵的秩条件都满足，下面主要介绍模型识别中的阶条件。
类似于K模型和C模型，这里只给出AB模型识别的必要条件。由式可知，简约式扰动项与结构式扰动项存在如下关系
对式两边取期望，有
AB模型识别的一个例子。Blanchard（1989）利用五变量AB模型，研究了美国1965年至1986年间的宏观经济波动。他们将AB模型设定为
其中，系统内生变量
依据相关经济理论，他们将矩阵
把式代入
在AB模型识别部分，我们知道为使AB模型能够识别，需要施加个
表2 有关三类模型的代表性文献
注：这里的三类SVAR识别模型主要是对结构冲击的参数大小进行约束，还有一类识别是对参数的符号进行约束，具体详见Faust（1998）、Canova & De Nicolo（2002）和Uhlig（2005）。
（四）SVAR模型识别的注意事项
前述可知，无论是递归式识别、短期识别还是非递归式识别、长期识别，SVAR模型的识别往往具有一定的主观性。相对而言，非递归式识别和长期识别要优于递归式识别和短期识别。究其原因，一是递归式识别约束条件较强，在经济学理论得不到一致认可时，依据递归式识别得出的动态效应分析结果往往存在较大争议。二是宏观经济理论中，经济变量之间的长期关系已经达成了广泛共识，而短期关系则莫衷一是，在SVAR模型识别中，如若过多设定短期约束条件，那么SVAR模型的动态分析结果将会大打折扣。尽管Swanson & Granger（1997）和Bessler & Lee（2002）提出与完善的图论可从数据驱动角度解决SVAR模型识别的主观性问题，但在经济含义解释方面，它还是受到了研究者的广泛质疑，这也是该类识别方法没有得到普及的原因。总而言之，在SVAR模型识别过程中，既要避免按部就班的理论导向，也要避免纯粹的数据驱动导向，只有合理结合两者的长处，方可得出可信、稳健和具有指导意义的实证结果。
三、SVAR模型的估计
SVAR模型识别设定后，下面就是模型的估计问题。常用的SVAR模型估计方法有普通最小二乘估计（OLS）、极大似然估计（ML）、广义矩估计（GMM）和贝叶斯估计。
（一）普通最小二乘估计
由于简约式VAR模型右侧只含有滞后变量，而这些变量与误差项不存在相关关系，所以可以利用OLS或广义最小二乘法（GLS）对简约式VAR模型内的方程进行逐一估计，估计出的参数具有一致性，并且渐近服从正态分布（张晓峒，2000；Lütkepohl，2005）。在简约式VAR模型滞后变量参数估计出后，扰动项的方差协方差矩阵便可直接计算出。根据结构式扰动项与简约式扰动项之间的特定识别关系（如Amisano & Giannini（1997）的K、C、AB模型），利用解析求解法（如乔利斯基分解）或数值求解法（如格子搜索法），即可完成整个SVAR模型的参数估计。
（二）极大似然估计
极大似然估计是SVAR模型最常用的估计方法。在SVAR模型正确设定前提下，Amisano & Giannini（1997）和Lütkepohl（2005）证明出，极大似然估计量具有一致性和有效性，即使模型扰动项分布设定有误，准极大似然估计量也可是一致性的。对于一般的SVAR模型，极大似然函数可以写为
其中，
利用诸如牛顿—拉尔夫等优化算法，即可得出K、C和AB模型的极大似然估计值。
（三）广义矩估计
在SVAR模型应用中，多数识别是恰好识别的，此时可以利用矩估计方法（MM）估计出识别约束矩阵。如果是过度识别的，则可采用Hansen（1982）提出的GMM估计。类似于极大似然估计，GMM估计大体也可分为两步。第一步，利用OLS或其他方法，得到简约式VAR模型的一致估计量。第二步，选定工具变量，利用GMM，求解结构式扰动项与简约式扰动项之间的二阶矩。Hansen（1982）和Bernanke & Mihov（1995）证明出，当工具变量有效时，GMM估计量具有一致性，并且渐近服从正态分布。关于GMM估计的实际应用，可参见Zhang et al.（2008，2009）。
（四）贝叶斯估计
随着计算科学的快速发展，贝叶斯估计正逐渐成为SVAR模型的首选估计方法。我们知道，前述三种估计法均属于参数估计法，它们均假定模型中的参数是固定的。当VAR模型样本观测过少或估计参数过多时，采用上述三种方法估计出的系数大多将不在显著，此时基于这些估计系数的脉冲响应、方差分解等动态效应的稳定性和准确性将大打折扣。解决上述问题一种重要方法是贝叶斯估计。在贝叶斯估计中，我们将SVAR模型中的真实参数值看作是服从某一分布的随机变量，而不在是固定值。具体而言，贝叶斯估计假定SVAR模型的真实参数服从某一特定的先验分布，将这种先验分布与似然函数相结合，得到参数的后验分布，通过分析后验分布的矩，如均值和标准差（对应经典时间序列分析中的系数值和标准误差），进一步增强SVAR模型动态效应结果的准确性和稳定性。
在贝叶斯估计中，合理选择参数先验分布，会使SVAR模型的估计事半功倍。目前著名的先验分布设定有三种。一是Litterman（1986）和Doan et al.（1984）提出的Litterman先验（又称Minnesota先验），二是传统的Normal-Wishart共轭先验，三是Sims & Zha（1998）提出的Sims-Zha先验。Litterman先验假定简约式扰动项的方差协方差矩阵是已知的，并用样本估计量来替代，这一假设简化了后验分布的计算过程。之后Kadiyala & Karlsson（1997）、Sims & Zha（1998）、Waggoner & Zha（2003）等学者对Litterman的先验分布进行了拓展。传统的Normal-Wishart共轭先验放松了简约式扰动项方差协方差矩阵为已知的假设，它认为先验分布与后验分布具有相同的分布函数形式。Sims & Zha先验则干脆直接对结构式扰动项的方差协方差矩阵的先验分布进行了假定。
（五）SVAR模型估计的注意事项
各种估计方法各有利弊，在应用时，应根据SVAR模型的样本大小、参数空间大小、识别条件来进行选择。当样本观测数目较少或估计参数较多时，可优先考虑贝叶斯估计。而在贝叶斯估计时，应充分利用有效先验信息来提升模型的估计效果，避免因先验分布设定过于严格而导致结果的失真。当样本观测足够大时，此时可考虑采用OLS、GLS和ML估计方法，因为这些方法得出的估计量是一致的且有效的，而由于贝叶斯估计限制住了参数取值范围，此时基于这种方法的估计量可能会是非一致的。此外，为研究某一特定结构冲击的传导效应，比如石油价格冲击，需要对结构式扰动项进行特别约束，此时可采用ML或GMM来进行估计。然而在应用ML和GMM时，特别要注意扰动项分布函数的设定和工具变量的选取。如果模型分布函数存在误设和工具变量选取不当，那么基于ML和GMM的估计量可能会是非一致的（Kilian & Lütkepohl（2017））。
四、SVAR模型的分析
SVAR模型主要侧重于变量之间的动态效应分析，主要分析工具有脉冲响应分析、预测误差的方差分解、预测情景分析和反事实分析。
（一）脉冲响应分析
脉冲响应分析（Impulse Response Analysis，IRA）是SVAR模型中最为重要的一个动态分析方法。自从Sims（1980）提出SVAR模型以来，它就成为学者们重点关注对象之一，目前广泛应用于宏观经济政策分析中。具体而言，它是一种理想实验，反映系统内生变量在受到某个结构冲击后的动态变化路径。在分析SVAR模型的IRA时，首先看简约式VAR模型的脉冲响应函数。一般地，简约式VAR模型的脉冲响应函数可表示为
其中，
当冲击强度向量
（二）预测误差的方差分解
预测误差的方差分解（Forecast Error Variance Decomposition, FEVD，简称方差分解）是SVAR模型中另外一个重要的动态效应分析工具。它反映的是SVAR模型中每个结构冲击对内生变量预测误差的解释程度。在分析SVAR模型的FEVD时，首先看简约式VAR模型的步预测误差的均方误差（MSE）。一般地，简约式VAR模型的MSE可表示为
其中，
其中，
（三）预测情景分析
相比简约式VAR模型侧重于预测分析，SVAR模型则更加偏重于预测情景分析（Forecast Scenarios Analysis，FSA）。FSA的根本目的在于，考察简约式VAR模型的预测结果对SVAR模型的未来结构冲击是否敏感。与传统预测不一致，FSA侧重于对未来小概率事件结构冲击的刻画，是一种向前看的情景分析，而传统预测方法则不关注未来扰动冲击的影响，侧重于利用已有数据来进行样本外推。常见的FSA有两种。一种是条件点预测，另一种是考虑不确定因素的条件概率密度预测。Baumeister & Kilian（2014）在这方面做了大量工作，他们研究了带有1997年亚洲经济危机和2008年国际金融危机的结构性冲击对真实石油价格的影响。
（四）反事实分析
自从Bernanke et al.（1997）和Sims & Zha（2006）在SVAR模型基础提出反事实分析（Counterfactuals Analysis）后，该分析方法得到了广泛应用。反事实分析是指，在SVAR模型系统内，关闭一个内生变量对另一个内生变量的反映（即将同期及滞后影响系数设定为零），然后比较关闭前后该变量的动态效应结果（如脉冲响应分析、预测误差的方差分解）是否存在显著差异。例如，Kilian & Lewis（2011）使用这种方法研究了石油价格冲击对美联储货币政策的影响。李永友（2012）使用反事实脉冲响应函数研究了市场信心对中国财政政策乘数效应的重要影响。
（五）SVAR模型动态分析的注意事项
为得到科学、准确、稳健的动态分析结果，首先需严格把关SVAR模型的识别和估计，因为动态分析结果是在其基础上得出的。关于脉冲响应分析，在解释结构冲击的效果时，不仅要关注点估计，同时也要关注区间估计，因为有时脉冲响应反映可能不显著。关于方差分解，这种分析工具可以完全独立于脉冲响应分析，Blanchard & Watson（1984）完美阐释了这一方法在经济周期中的应用。关于预测情景分析，未来的结构冲击可以是预期的，也可以是非预期的。与脉冲响应分析假定未来某一时刻存在结构冲击不同，预测情景分析则假定未来每一时刻都存在结构冲击（Baumeister & Kilian（2014））。关于反事实分析，该方法的可靠性一直受到质疑，Adam（2009）、Benati（2010）等学者指出应谨慎看待该分析得出的结果。
五、SVAR模型的演变
前述分析的SVAR模型主要是线性平稳模型。然而我们知道，现实中绝大部分经济变量都表现出非平稳和非线性的特征。为解决非平稳变量的建模问题，Granger（1981）和Engle & Granger（1987）提出了非平稳变量之间的协整关系。此后，Johansen（1995）将协整概念引入SVAR模型，发展出了向量误差修正模型（VECM）。关于非线性SVAR模型，目前常见的主要有四种。第一种是Krolzig（1997）在Hamilton（1989）基础上发展的马尔科夫机制转换VAR模型（MSVAR）。第二种是Balke & Fomby（1997）等学者在Tong et al.（1990）基础上发展的门限VAR模型（TVAR）。第三种是Weise（1999）提出的平滑转换SVAR模型（STVAR）。第四种是Canova（1993）等学者提出的时变参数VAR模型（TVPVAR），用以刻画模型参数随经济体制、产业结构、政策调整等方面的变动。
随着统计制度的不断完善、数据获得的日益便捷、计量软件计算能力的大幅提升（如Python、R、Eviews、Stata）和研究部门关注内容的日益深入，传统SVAR模型已难以刻画多变量、大维度经济系统的动态变化。为克服SVAR模型的大维“诅咒”问题，近些年诸多计量经济学者针对这一难题进行了有益尝试，并取得了丰硕成果。概括起来，这些成果可大致分为三类。一类是Bernanke et al.（2005）、Bai & Ng（2008）等学者提出的因子VAR模型（FAVAR）。他们的思路是，通过构造一些公共因子，并用这些公共因子替代模型变量进行降维，进而降低模型估计的难度。第二类是Otrok & Whiteman（1998）、Banbura et al.（2010）等学者提出的大维贝叶斯VAR模型（LSVAR）。与FAVAR模型建模思路不同，该方法并没有减少模型内生变量的估计个数，只不过它通过假定参数先验分布的形式缩小了参数空间。第三类是介于FAVAR模型和LSVAR模型之间的一类模型，主要包括面板VAR模型（PVAR）、全球VAR模型（GVAR）以及空间VAR模型（Spatial-VAR）。值得注意的是，尽管大维SVAR模型能够解决多变量SVAR模型的维度“诅咒”问题，但目前来看还没有达到完美的程度，在模型识别、先验分布设定、估计有效性、经济释义等方面还存在着一些不足，关于此方面的论述见Kilian & Lütkepohl（2017）。
表3 有关SVAR模型的拓展文献
参考文献
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